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LE P.E.R.T.
Programm of Evaluation and Review Technic



Pierre CÉLIER, Professeur de l'ENSET de Mohammedia
Document mis à jour le 28/10/2004






SOMMAIRE :

PRÉSENTATION DU PERT
MÉTHODOLOGIE DE CONSTRUCTION D'UN RÉSEAU PERT
DÉTERMINATION DES DATES "AU PLUS TÔT" ET "AU PLUS TARD" DANS UN RÉSEAU PERT
CALCUL DES DIFFÉRENTES MARGES DANS UN RÉSEAU PERT





  
PRÉSENTATION DU PERT

Le PERT (Programm of Evaluation and Review Technic) est, comme la MPM, une technique d'ordonnancement basée sur la théorie des graphes, visant à optimiser la planification des tâches d'un projet.
Cette technique aurait été conçue sous l'appellation initiale de méthode CPM (Critical Method Path) par la marine américaine, en 1958, pour coordonner les tâches des milliers d'entreprises impliquées dans son projet "Polaris" (programme de développement de missiles à ogive nucléaire).
Compte tenu de son efficacité (elle aurait permis de réduire de 14 à 7 ans la durée globale de réalisation du projet Polaris) elle s'est rapidement imposée dans les organisations, gouvernementales ou non, ayant à gérer des projets importants (programme Apollo de la NASA, construction d'autoroute, etc.) au détriment du diagramme de Gantt.

L'utilisation du PERT permet, notamment, de déterminer la durée minimum nécessaire pour mener à bien un projet et les dates auxquelles peuvent ou doivent débuter les différentes tâches nécessaires à sa réalisation pour que cette durée minimum soit respectée.




  
MÉTHODOLOGIE DE CONSTRUCTION D'UN RÉSEAU PERT

Le recours au PERT suppose qu'aient préalablement été identifiées les différentes tâches nécessaires à la réalisation d'un projet, leur durée et leurs relations d'antériorité (cf. première étape de l'établissement d'un diagramme de Gantt).
Généralement ces informations sont synthétisées dans un tableau du type suivant :
TABLEAU D'ANTÉRIORITÉ DU PROJET Y
Tâches
Durée
Antériorité(s)
A
2
-
B
4
-
C
4
A
D
5
A,B
E
6
C,D


Conventions de base d'un réseau PERT

Le PERT permet de représenter l'ensemble des tâches sur un graphe orienté, à partir duquel il sera possible d'identifier leurs dates au plus tôt et au plus tard et de calculer leurs marges.
Un graphe orienté est un réseau composé d'une entrée et d'une sortie, ainsi que de points (appelés "sommets") reliés entre eux par des flèches (appelées "arcs").

Les principales conventions d'un réseau PERT sont les suivantes :
- chaque tâche est symbolisée par un arc, auquel est associé une valeur numérique correspondant à sa durée.
- les sommets auxquels aboutissent les arcs correspondent donc à des étapes, qui marquent l'aboutissement d'une ou plusieurs tâches.
- chaque étape est identifiée par un numéro d'ordre et renseignée sur la date à laquelle elle peut être atteinte au plus tôt ("date au plus tôt") et au plus tard ("date au plus tard") pour respecter le délai optimal de réalisation du projet.
- le graphe possède une entrée (sommet sans antécédent) et une sortie (sommet sans descendant) qui correspondent respectivement aux étapes "Début des opérations" et "Fin des opérations".

Du fait de ses conventions, il est parfois nécessaire d'introduire des "tâches fictives" pour traduire correctement sur un graphe les relations d'antériorité de certaines tâches, notamment lorsque celles-ci partagent avec d'autres une partie de leurs antécédents (cf. "tâche D" dans le schéma suivant).



Construction d'un graphe PERT

Sur la base des conventions précédentes, la construction d'un graphe PERT ne pose pas de difficulté particulière, mais doit être réalisée avec méthode. La démarche la plus appropriée consiste à procéder par "niveau" :
- déterminer les tâches sans antécédent (tâches de niveau 1) et les relier à l'étape de "Début"
- identifier ensuite les tâches de niveau 2, c'est-à-dire celles dont les antécédents sont exclusivement du niveau 1 et les positionner sur le graphique en fonction de des derniers,
- … continuer ainsi, jusqu'à ce que toutes les tâches aient pu être positionnées entre elles et relier celles n'ayant pas de descendant à l'étape de "Fin".

Ainsi, si l'on reprend le tableau d'antériorité proposé précédemment (projet Y) :


Lecture d'un graphe PERT

Le graphe se lit de gauche à droite (de l'étape "DÉBUT" à celle de "FIN").
Chaque arc symbolise une tâche qui permet d'atteindre une nouvelle étape dans la réalisation du projet. Une nouvelle tâche ne peut commencer que lorsque toutes les tâches préalables à sa réalisation sont terminées.

Chaque sommet correspond à une étape qui est identifié par une cartouche où sont précisés : son "numéro d'ordre", la date à laquelle elle peut être atteinte au plus tôt ("date au plus tôt") et la date à laquelle elle doit être atteinte au plus tard pour respecter le délai optimal de réalisation du projet ("date au plus tard").




  
DÉTERMINATION DES DATES "AU PLUS TÔT" ET "AU PLUS TARD" DANS UN RÉSEAU PERT

La date au plus tôt d'un réseau PERT correspond à la date à laquelle une étape peut être atteinte au plus tôt.
Elle s'obtient en ajoutant à la date au plus tôt de l'étape précédente, la durée de la tâche qui les sépare :
Date au plus tôt "étape j" = Date au plus tôt "étape i" + Durée tâche "ij"

Lorsque plusieurs arcs arrivent à un même sommet (c'est à dire que plusieurs tâches doivent être réalisées pour atteindre une étape donnée), il convient de faire ce calcul pour toutes les tâches menant à l'étape en question et de retenir comme "date au plus tôt" de l'étape le maximum des valeurs ainsi trouvée (en effet, l'étape ne sera vraiment atteinte que lorsque toutes les tâches y menant auront été accomplies) :
Date au plus tôt "étape j" = Max. (Date plus tôt "étapes i" + Durée tâches "ij")
Dans cette formule, "i" représente l'ensemble des tâches immédiatement antérieures à "j"

La détermination des dates au plus tôt des différentes sommets se fait donc par calculs successifs, à partir de l'étape initiale "Début" (dont, par convention, la date au plus tôt est fixée à 0).
La durée minimale du projet correspond donc à la date au plus tôt de l'étape "Fin".



La date au plus tard d'un réseau PERT correspond à la date à laquelle une étape doit être atteinte au plus tard pour que la durée globale du projet reste minimum.
Elle s'obtient en retirant de la date au plus tard de l'étape qui lui succède la durée de la tâche qui les relie :
Date au plus tard "étape i" = Date plus tard "étape j" - Durée tâche "ij"

Lorsque plusieurs arcs partent d'un même sommet (c'est à dire que plusieurs tâches commencent à partir d'une même étape), il convient de faire ce calcul pour toutes les tâches (y compris s'il s'agit de tâches fictives) succédant à l'étape en question et de retenir comme "date au plus tard" de l'étape le minimum des valeurs ainsi trouvées :
Date au plus tard "étape i" = Min. (date au plus tard "étapes j" - Durée tâches "ij")
Dans cette formule, "j" représente l'ensemble des tâches immédiatement postérieures à "j"

Ainsi, dans notre exemple précédent (projet Y), la date au plus tard de l'étape I = Min [ (9 - 4) , (4 - 0) ] = 4

La détermination des dates au plus tard des différents sommets se fait donc à rebours du graphe, par calculs successifs, en partant de l'étape finale "Fin" (pour laquelle, par convention, on considère que la date au plus tard est égale à sa date au plus tôt).



On appelle chemin critique la succession des tâches pour lesquels aucun retard n'est possible sans remettre en cause la durée optimale du projet (tâches pour lesquelles date au plus tôt = date au plus tard). Dans notre exemple, celui-ci est indiqué en rouge




  
CALCUL DES DIFFÉRENTES MARGES D'UNE TÂCHE DANS UN RÉSEAU PERT

On appelle "marge" d'une tâche le retard qu'il est possible de tolérer dans la réalisation de celle-ci, sans que la durée optimale prévue du projet global en soit affectée.
Il est possible de calculer trois types de marges : la marge totale, la marge certaine et la marge libre.



La marge totale d'une tâche indique le retard maximal que l'on peut admettre dans sa réalisation (sous réserve qu'elle ait commencé à sa date au plus tôt) sans allonger la durée optimale du projet.
Elle se calcule en retirant la durée de la tâche en question à l'écart qu'il peut y avoir entre sa date de au plus tôt de début et sa date au plus tard de fin :
Marge totale tâche "ij" = Date au plus tard "étape j" - Date au plus tôt "étape i" - Durée tâche "ij"

Ainsi, dans notre exemple précédent (projet Y) :
- Marge totale de A = (4 - 0 - 2) = 2
- Marge totale de C = (9 - 2 - 4) = 3

Sauf cas particulier, un retard correspondant à la marge totale d'une tâche se traduit par une modification des dates au plus tôt des tâches qui lui succèdent et entraîne, généralement, l'apparition d'un second chemin critique.
Il n'est donc pas possible de cumuler des retards correspondant à leur marge totale sur plusieurs tâches successives, sans remettre en cause la durée optimale prévue pour le projet.



La marge libre d'une tâche indique le retard que l'on peut admettre dans sa réalisation (sous réserve qu'elle ait commencé à sa date au plus tôt) sans modifier les date au plus tôt des tâches suivantes et sans allonger la durée optimale du projet.
Elle se calcule en retirant la durée de la tâche en question à l'écart qu'il peut y avoir entre ses dates au plus tôt de début et de fin :
Marge libre tâche "ij" = Date au plus tôt "étape j" - Date au plus tôt "étape i" - Durée tâche "ij"

Ainsi, dans notre exemple précédent (projet Y) :
- Marge libre de A = (2 - 0 - 2) = 0
- Marge libre de C = (9 - 2 - 4) = 3

Un retard correspondant à la marge libre d'une tâche reste sans conséquence sur les marges des tâches qui lui succèdent. Il est donc possible de cumuler des retards, s'inscrivant dans leur marge libre, pour plusieurs tâches successives, sans remettre en cause la durée optimale prévue pour le projet.



La marge certaine d'une tâche indique le retard que l'on peut admettre dans sa réalisation (quelle que soit sa date de début) sans allonger la durée optimale du projet.
Elle se calcule en retirant la durée de la tâche en question à l'écart qu'il peut y avoir entre sa date au plus tard de début et sa date au plus tôt de fin :
Marge certaine tâche "ij" = Max [ 0 ,  (Date au plus tôt "étape j" - Date au plus tard "étape i" - Durée tâche "ij") ]
D'après cette formule, la marge certaine est considérée comme nulle lorsque son calcul donne un nombre négatif

Ainsi, dans notre exemple précédent (projet Y) :
- Marge certaine de A = Max [0, (2 - 0 - 2)] = 0
- Marge certaine de C = Max [0, (9 - 5 - 4)] = 0

Un retard correspondant à la marge certaine d'une tâche reste sans conséquence sur les marges des tâches qui lui succèdent, même si elle commence à sa date au plus tard. Il est donc possible de cumuler des retards, s'inscrivant dans leur marge certaine, pour plusieurs tâches successives, même si elles commencent à leur date au plus tard, sans remettre en cause la durée optimale prévue pour le projet.



On remarque que l'ensemble des marges des tâches composant le chemin critique sont nécessairement nulles, puisqu'il s'agit de tâches pour lesquels, par définition, aucun retard n'est possible sans remettre en cause la durée optimale prévue pour le projet.






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